Unidad V (Derivadas y aplicación)

III Unidad "Límites" (tareas)

II unidad "Funciones" (ejercicios)

Unidad II (Apuntes relaciones y funciones)

RELACIONES Y FUNCIONES

Relación: Regla de asociación o correspondencia entre dos conjuntos

Función: Una función de f de un conjunto X rn un conjunto Y es una relacioón entre éstos que cumple con la condición de que cada elemento de X está relacionado con uno y solamente uno de los elementos de Y.

Para saber si es una función o relación podemos trazar líneas verticales y estas líneas solo deben tocar una vez a la gráfica, con esto se sabrá que es una función; si toca más de una vez será realación.


FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

Las funciones se pueden representar de varias formas, como son:

1.-Con la regla de correspondencia o de selección

Para representar que f es una función que relaciona a los elementos de un conjunto X con los de un conjunto Y asociando a cada elemento x con f(x) escribimos:
f : X---Y
x---f(x)
Ejemplo: Si la función nos dice que, a todo número le sumamos dos unidades.
f : R---R
f(x)= x + 2

2.-Con diagramas
a.-Sagitales
b.-De máquina
c.-De flechas
d.-Con tabla de valore
e.-Con pares ordenados
f.-Con una gráfica

DOMINIO,CODOMINIO Y RANGO

El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Se pueden clasificar de acuerdo a su forma en:
a.-Algebraicas y trascendentales
Las algebraicas son todas las funciones compuestas por la suma o resta de terminos algebraicos, generalmente son monomios, binomios o trinomios. pueden ser polinomiales o racionales.
Las trascendentales pueden ser de tres tipos:
i)Logarítmicas
ii)Exponenciales
iii)Trigonometricas

b.-Continuas y discontinuas
Se clasifican según sus gráficas, si la gráfica tiene algún corte o salto es discontinua y si es continua la gráfica será continua.

c.-Crecientes y decrecientes
Para saber si una función es creciente o decreciente basta con colocar tu dedo índice derecho sobre la gráfica y moverlo de izquierda a derecha si el dedo se va hacia arriba entonces es creciente y si sucede lo contrario será decreciente.

d.-Inyectiva,sobre y biyectiva
Es inyectiva si y solo si a elementos distintos de A les corresponden imagenes distintas en B. Ningún elemento de A tiene la misma imagen.

Será sobreyectiva si todos los elementos de B estan asociados con por lo menos uno de A. Y finalmente es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

FUNCIONES ESPECIALES

Son especiales por su comportamiento gráfico
1.-Constante
Relaciona a todos los elementos del domino con un solo elemento del codomino.

2.-Identidad
Relaciona a cada elemento del domino con su igual en el codominio.

3.-Valor absoluto
Asocia a cada número real con su valor absoluto, es decir, asocia a cada número con su valor sin signo. La regla de asociación es:
x, si x > 0
f(x) =
-x, si x < 0

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

a.-Traslacion horizontal
Si tenemos f(x), entonces f(x+a) traslada la gráfica a unidades hacia la izquierda.
Si tenemos f(x), entonces f(x-a) traslada la gráfica a unidades hacia la derecha.

b.-Traslación vertical
Si tenemos f(x) , entonces f(x)+a traslada la gráfica a unidades hacia arriba.
Si tenemos f(x) , entonces f(x)-a traslada la gráfica a unidades hacia abajo.

Tarea 3 (desigualdades con denominador x)

1) Completa el siguiente cuadro





2) Resolver las siguientes desigualdades, expresar la solución como intervalo y en la recta numérica.





a) 3/x≥3

Caso 1
x>0
3≥3x
3/3≥x
1≥ x
x≤1

x>0 ∩ x≤1

c.s. (0,1]


caso 2

x<0
3/x≤3
3≤3x
3/3≤x
x≥1

x<0 ∩ x≥1

c.s. (0)




b) 5/x < 6/7

Caso 1
x > 0

5 < 6/7 x
5/1 / 6/7 < x
x > 35/6

x > 1 ∩ x > 35/6

c.s. (35/6, ∞)


caso 2
x < 0

5 > 6/7 x
5/1 / 6/7 > x
x < 35/6

x < 0 ∩ x<35/6

c.s. (-∞, 0)



c) x/ 2-4x ≤ 5/6

caso 1
2x - 4 > 0
2x > 4
x >2

x ≤ 5/6 (2-4x)
6(x ≤ 10/6- 20/6x
6x ≤ 10 – 20x
26x ≤ 10
x ≤ 10/26
x ≤5/13

x > 0 ∩ x ≤ 5/13

c.s. ( Ø )


Caso 2
x < 2

x ≥ 5/6(2-4x)
6( x ≥ 10/6- 20/6x)
6x ≥ 10-20x
26x ≥ 10
x ≥ 10/26
x ≥ 5/13

x < 2 ∩ x ≥ 5/13






d) x/2x-3 > 5

caso 1
2x-3 >0
x > 3/2

x > 5(2x-3)
x > 10x-15
x-10x > -15
-1(-9x > -15)
9x < 15
x < 15/9
x < 5/3

x > 3/2 ∩ x < 5/3

c.s. (3/2, 5/3)



Caso2
2x-3<0
x<3/2

x<5(2x-3)
x<10x-15
-1(-9x<-15)
9x > 15
x> 5/3

x<3/2 ∩ x> 5/3
c.s. (Ø)


c.s. (Ø) u (3/2, 5/3)




e) -1< 3-7x/4 ≤ 6

-3-4 <-7x ≤ 24-3
-1 (-7<-7x ≤ 21)
(7>7x ≥ -21)/ 7
1 >x ≥-3

c.s [-3, 1)




Tarea 3

1.- |7-3x/2| ≤ 1

Caso 1
2 ( 7-3x/2 ≤ 1)
7-3x ≤ 2
-1(-3x ≤ 2-7)
3x ≥ 5
X ≥ 5/3

c.s. [5/3, ∞)



Caso 2
(7-3x/2 ≥ -1 ) 2
(-3x ≥-2-7) -1
3x ≤ 9
X ≤ 9/3
X ≤ 3

c.s.(-∞, 3 ]

(-∞, 3 ] n [5/3, ∞)

c.s. [5/3, 3]



2.- |1-2x/3 | < 4


-4<1-2x/3<4
(-5<-2x/3<3)3
-1(-15<-2x<9)
15/2>x>-9/2

c.s (-9/2, 15/2)



3.- |3-11x| ≥ 41

Caso1
3-11x ≥41
-1(-11x≥ 41-3)
11x ≤ 38
X ≤38/11
c.s. (-∞, -38/11]


caso2
3-11x≤-41
-1(-11x≤-41-3)
11x≥44
x≥ 4

c.s. [4, ∞)

c.s. (-∞, 38/11] u [4,∞ )

Tarea 2 (desigualdades)

a) 3-2/3x ≤1

(-2/3x ≤1-3) (-1)
2/3x≥2
x≥ 2/1 / 2/3
x ≥ 6/2
x ≥ 3

c.s. [3,∞)



b) 2x-1 ≤ 2x+4

2x-2x≤4+1
0≤5

c.s (0,5]




c) 1/3x+1/2 < 2/3-5/2x

1/3x+5/2x < 2/3-1/2
17/6x < 1/6
x< 1/17

c.s. (-∞, 1/17)




d) x/2< -5x+2/3

(x/2<-5x+2/3) (6)
3x+30x<4
33x<4
x<4/33

c.s. (-∞, 4/33)




e) 3 > 6-3/5x ≥ 1

3-6 > -3/5x ≥ 1-6
(-3 >-3/5x ≥-5) (-1)
3< 3/5x ≤ 5
3/1 / 3/5 < x ≤ 5/1 / 3/5
15/3 < x ≤ 25/3
5< x ≤ 25/3

c.s. (5, 25/3 ]