Números reales

Los números surgieron debido a la necesidad de resolver problemas geométricos y aritméticos, lo cual lleva a ampliar los conjuntos numéricos de los números racionales y a definir el conjunto de los números irracionales y fue a partir de los números racionales e irracionales que surgieron los números reales.

Es importante mencionar que los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, hicieron aportes sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de 1916), matemático alemán.
Dedekind nació en Brunswick (Braunschweig en alemán), el más joven de los cuatro hijos de Julius Levin Ulrich Dedekind. Vivió con Julia, su hermana soltera, hasta que falleció en 1914; él mismo, también quedó soltero. En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga (Göttingen en alemán).
Fue además el primero en comprender el significado fundamental de las nociones de grupo, cuerpo, ideal en el campo del álgebra, la teoría de números y la geometría algebraica.
Sus cortaduras zanjan definitivamente el problema de la fundamentación del análisis al definir el conjunto de los números reales a partir de los racionales. En su magistral artículo de 1872, Dedekind caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo, y ofreció un desarrollo de toda la cuestión que es un modelo de organización y claridad.
Su trabajo sobre los números naturales fue también fundamental, sentando bases para la teoría de conjuntos y dando una fundamentación muy rigurosa de los llamados Axiomas de Peano (publicados por el italiano un año más tarde).

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.
Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron.


En definición, por números reales entendemos al conjunto de racionales e irracionales comprendidos en los puntos de la recta.




Clasificación de los números reales

Propiedades.

*Conmutativa
a+b = b+a a*b = b*a
Dice: Al sumar o multiplicar reales no importa el orden, ya que este no altera el resultado.

*Asociativa
(a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
Dice: Se pueden hacer distintas asociaciones y estas no afectaran el resultado.

*Distributiva
a(b+c) = ab+ac
Dice: El factor de distribuye a cada uno de los sumandos.

*Identidad
a+0 = 0+a = a a*1 =1*a = a
Dice: Siempre que se sume cero a un real este se quedara igual; y en la multiplicación todo real multiplicado por 1 no cambiara.

*Inverso
a+(-a) = 0 a*1/a =1
Dice: La suma de los opuestos es cero y el producto de los recíprocos es 1.

*Neutro
b*0 =0 0÷b =0 ó 0/b = 0, b≠0

*Cerradura
Si a,b є R a+b є R
Si a,b є R ab є R

*Propiedades de Igualdad:
Identidad. a = a

Reciprocidad. Si a = b tenemos que b = a

Transitividad. Si a = b y b = c, tenemos que a = c.

Nota: Las operaciones de resta y división no

aperecen en el cuadro anterior debido a que

sus operaciones inversas ya estan en el cuadro.




EJERCICIOS DE REPASO

Instrucciones: Identifica a que propiedad corresponden las siguientes expresiones.

a.) (-2) + (2) = 0 Inverso

b.) 3(√5 + 1) = (√5 + 1)3 Conmutativa

c.) √13 +0 = √13 Identidad

d.) Si x =√3 entonces √3 = x Igualdad reciprocidad

e.) √2 = √2 Igualdad identidad

f.) (x + 2y)+z = z+(x +2y) Conmutativa

Instrucciones: Expresar los siguientes numeros como racional, entero o decimal, de ser posible.

a) 0.444… IRRACIONAL

Si x = 0.444
10x = 4.44
X = 0.44 (restar)
9x = 4
x = 4/9

b) 0.505050… IRRACIONAL

SI X = 0.505050
100X = 50.505
X = 0.505
99X = 50
X = 99/50

c) 5.818181 IRRACIONAL

SI X =5.818181
100X = 581.8181
X = 5.8181
99X = 576
X = 576/99

d) 3.023023 IRRACIONAL

SI X = 3.023023
1000X = 3023.023
X = 3.023
999X = 3020
X = 3020/999

e) 1/8 RACIONAL

La división de esta fracción da
como resultado 0.125

f) 15/23 IRRACIONAL

15/23 = 0.652173913…

g) √2 IRRACIONAL

√2 = .1.414213562

h) Π = 3.1416… IRRACIONAL